微積分の背後:第4話

<流率法を巡って>

 ニュートン以後の微分積分学の基礎にある「無限小」に関する論争と言えば、バークリが英国の数学界に与えた批判が有名である。バークリは18世紀スコットランド哲学に大きな影響を与えた。実際、ヒュームの 『人生論』とこれに対抗した常識哲学という二つのスコットランド啓蒙を代表する哲学は、バークリの存在に大きく依存していた。だが、微積分学批判者としてのバークリの実像に迫る研究はまだ十分ではない。例えば、バークリの著作『解析家−不誠実な数学者へ向けての論説』(The Analyst: or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician, 1734、不誠実な数学者と名指されているのがニュートン)がスコットランドニュートン派数学者マクローリンの主著『流率論』(A Treatise of Fluxions, 1742)を生みだす動機と状況をつくりだしたのだが、それすらまだしっかり吟味されていない。マクローリンは数学者であったばかりでなく、初期ニュートン主義を代表する自然哲学者でもあり、スコットランドにおける実験哲学の中心人物だった。

 ニュートン学派の微分積分学研究へのアプローチは、ニュートンの『光学』(Opticks)の付録として公表された「求積について」(De quadratura)がその出発点だった。マクローリン、ロビンズ、そしてダランベールなどの18世紀の数学者たちは、有限量とそれらの変化率を扱う微分積分学をそのまま継承し、維持していた。さらに、証明の方法は比と和の極限を計算することにあった。無限小解析派の技法は、ニュートンの初期の著作で使用されてはいたが、それは根拠のないものとみなされていた。流率論者のアプローチは、主に英国ではテイラースターリング、マクローリン、ドゥ・モアブルのようなニュートン説信奉者に継承されていた。だが、英国においてさえ極限比は一般に数学的著作の序論や序文で言及されるだけであり、応用と実際の計算の場合には無視されていたのである。ライプニッツ学派の微分積分学研究へのアプローチは、18世紀数学に莫大な影響力を持っていた。実際、18世紀の数学者の大多数はライプニッツ学派のアプローチを採用していた。一方、ニュートン学派のアプローチは、ライプニッツ学派に比べて古代ギリシャ以降の厳密\xC0

④隆霆爐砲ǂ覆辰討い燭❶△修譴茲蟷箸い砲唎ぁ¬餡陲壁集修世箸澆覆気譴討い拭↗薀ぅ廛縫奪蝶愬鼻兵腓紡舂Δ粒惻圓燭繊砲肇縫紂\xBC トン学派(主に英国の学者たち)は、計算の結果では一致していたものの、方法論上の問題に関しては意見を異にしていた。これにニュートンライプニッツとの微分積分学発見の先取権をめぐる論争が加わり、二つの学派を大きく引き裂いていたのである。

 アメリカから帰国したバークリが1734年に出版した『解析家−不誠実な数学者へ向けての論説』と題された短編のパンフレットは、数学者たちとの間に激しい論争を引き起こし、やがて英国数学界全体に大きな影響を残すことになった。バークリは『解析家』の中で、ニュートン学派とライプニッツ学派の数学者たちは存在論的な誤解と論理的な誤謬に関して有罪であると主張した。

 主教バークリは初期の未完論考「無限小」で、形而上学が数学の限界を定め、それが内包する哲学的問題を明らかにする唯一の学問であるという見解を表明し、無限小を回避する議論を展開していた。だが、バークリは微分積分学が複雑な幾何学的問題や力学的問題を十分に解くことができるという点を否定していたわけではなかった。彼の目的は、ニュートンライプニッツがつくり出した「新しい解析」(微分積分学)の基礎に関する厳密性の欠如を非難することにあった。彼の批判は、「合理主義の哲学を標榜する人々が、その成功に夢中になっている解析法の中にさえ、論理的には重大な難点がある。それを放置しておいて、教会の教えの非合理性ばかりを批判することができるか」という、合理主義的な啓蒙主義精神に指導された近代知識人に対する神学的立場からの反論という形で提出されていた。バークリの批判は、存在論的なものと論理的なものとの二つに分けることができる。バークリによれば、存在を極限あるいは無限小に帰することはどんな存在論的な正当化もできない。比の極限は、二つの有限量の極限であるか(それゆえ「最後の」比ではないか)、あるいはそれは比0/0